La vida, a veces, es fractal

Eche un vistazo a la figura de abajo. Es como un triángulo, pero raro. A decir verdad, hasta su nombre suena raro. Es el triángulo de Sierpinski, llamado así en honor al matemático polaco que lo inventó. Esa figura es un ejemplo paradigmático de los fractales, un concepto que algunos podrían considerar un juguete matemático, salvo por dos hechos: se encuentra en mil y un lugares de la naturaleza y sus fórmulas matemáticas, nada complejas, se han revelado útiles para obtener luz en situaciones, esas sí, complejas. La figura del triángulo de Sierpinski resulta útil para explicar qué son los fractales. Fíjese bien. Dibujar un triángulo blanco en medio del negro genera en su interior cuatro triángulos. En un segundo paso, la estructura se repite dando lugar a un dibujo que parece un triángulo que incluye a otros trece. Al cabo de solo seis pasos, tenemos un triángulo lleno de pequeños triángulos dibujado a base de repetir la misma estructura. Eso, dicho de un modo simple, vienen a ser los fractales: figuras geométricas dibujadas con estructuras que se repiten a diferentes escalas, unas más grandes otras más pequeñas. Piense por ejemplo en los helechos. Sus hojas, verdad, parecen hechas por pequeñas réplicas de la misma hoja, que a su vez también parecen fabricadas por hojitas aún más minúsculas. No es el único ejemplo que se puede encontrar en la naturaleza. Hace unos días, en una conferencia de las Semanas de la Ciencia sobre los fractales, el geólogo Antonio Aretxabala señaló varios fractales que pueden encontrarse a veces a simple vista: las cuencas de los ríos o los rastros que deja el agua en el desierto son evidentes en la fotografía de arriba, tomada en Egipto. Los rayos, los árboles, las estructura de los bronquios dentro de los pulmones, los cristales de nieve (de nuevo, mire la foto de arriba)... son estructuras que parecen ramificarse, que parecen crearse repitiendo una y otra vez a escala más pequeña una figura más grande. Aretxabala, como buen geólogo, habló del granito que se rompe en cubos más pequeños dentro de un cubo más grande, o incluso de la intensidad de los terremotos como los que sufrió Pamplona y su cuenca en marzo, que mantienen una relación matemática igual a las estructuras fractales. El término fractal es más o menos reciente. Lo acuñó en 1975 el matemático francés Benoît Mandebroot para dar cuenta de unas estructuras que tienen mucho más que decir que lo que parece. Piensen en las costas, sobre todo si son escarpadas. En los mapas las dibujamos con una línea más o menos recta, pero en realidad su configuración es mucho más intrincada, llena de salientes y entrantes. O en los copos de nieve, que dibujamos como una esfera blanca, pero que esconden una estructura mucho más compleja. APLICACIONES El caso es que desde los años 70 los fractales han sido un término de moda en la matemática. “No podían haberlo sido antes, porque faltaban las herramientas informáticas” necesarias para unas operaciones sencillas pero que requieren grandes dosis de cálculo, explicaba en la misma conferencia Javier Armentia, director del Planetario de Pamplona. El caso es que los fractales y sus matemáticas sirven ahora para “modelar situaciones reales” y tratar de encontrar los parámetros con los que se construye una realidad compleja. Un nuevo ejemplo: las ramas de un árbol, que parecen reproducirse a escala cada vez menor. Seguramente no es fácil saber por qué un árbol crece tal y como lo hace. Pero sí es posible simular cómo crece introduciendo parámetros fractales, pidiendo a un ordenador que divida las ramas en puntos determinados, que lo haga tantas veces y con un ángulo concreto. Según sean estos datos, podremos simular el crecimiento de un haya o de un abeto, por decir dos especies al azar. El cálculo fractal se ha aplicado, dijo Armentia, para estudiar asuntos tan variopintos como la geología de otros planetas o la dinámica de los huracanes. Incluso se intentó analizar de modo fractal las estructuras del Universo. En este caso no hubo suerte. “Es que el Universo no ha tenido el tiempo suficiente para desarrollar estructuras a distintas escala. Dicho de otro modo, el Universo es demasiado joven”, señaló el director del Planetario. En cierto sentido, los fractales son cosas de otra dimensión. Al menos, de una dimensión fraccionaria. Es su aspecto más matemático. Si la línea tiene una dimensión, el cuadrado tiene dos y el cubo tiene tres, el fractal puede tener 1,5, por ejemplo. Joaquín Sevilla, profesor y responsable de Divulgación del Conocimiento de la UPNA, se encargó de explicarlo con un ejemplo. Pensemos en una línea, un alambre por ejemplo. Si lo dividimos por la mitad, pesará la mitad. Ahora vayamos a un cuadrado. Si dividimos sus lados a la mitad, obtendremos cuatro cuadrados que pesan una cuarta parte del primero. Y si hablamos del cubo, si partimos sus lados por la mitad, obtendremos ocho pequeños cubos. Pero con los fractales no pasa eso. Volvamos al triángulo de Sierpinsky, el de la imagen de arriba. Con un poco de imaginación, se puede ver que si dividimos sus lados entre dos, obtendremos tres porciones, tres chapitas con una estructura interna muy intrincada. Les ahorro la fórmula matemática, que tampoco es demasiado compleja, pero su dimensión no es ni uno, la de una línea, ni dos, la de un cuadrado. Es 1,585. Ahora puede pensar que esto, en el fondo, no es más que un juego de matemáticos. No es del todo cierto. Los fractales, como se ha dicho, se han utilizado para estudiar las costas, entre muchas otras cosas. Las de Gran Bretaña, por ejemplo, tienen una dimensión de 1,21 y las noruegas, más intrincadas por sus fiordos, 1,52.

La vida, a veces, es fractal

Los fractales son formas que se construyen repitiendo una estructura a distintas escalas. También se encuentran en la naturaleza

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